História da Matemática na Europa

Quando da queda do Império Romano Ocidental, em 476, devido às invasões Bárbaras, a Igreja Católica que se tinha expandido e organizado, durante o Império Romano, conseguiu manter o tipo de vida e organização social que tinham imperado durante o Império Romano. Muitos dos reis Bárbaros, acabaram, mesmo, por se converter ao catolicismo.
Nos mosteiros, os monges copistas dedicaram-se à tradução de alguns autores da Antiguidade Clássica. Também alguns leigos, dedicaram-se aos estudos dos antigos autores como foi o caso de Boécio (480 - 524), cuja aritmética foi fonte, durante cerca de um milhar de anos, para o ensino que se praticava nas escolas ligadas à igreja.
Nos séculos VII e IX, uma nova vaga de invasões assolou a Europa Ocidental, que provocou profundas alterações na sociedade. As populações fogem das cidades e refugiam-se nos campos, dando-se início a uma sociedade do tipo feudal.
Os muçulmanos invadem a Península Ibérica em 711 e os Vikings iniciam, em 787, a sua invasão da Bretanha.
No início do século IX, Carlos Magno, rei dos Francos (que se tinham estabelecido no território que deu origem à actual França desde o século V), foi reconhecido pelo papa como unificador do novo Império Romano do Ocidente. Em 782, Carlos Magno convidou Alcuino de York para reformular o ensino na sua corte. A Alcuino é atribuída uma das mais antigas recolhas de problemas matemáticos.
As primeira universidades aparecem pouco tempo depois agregadas às escolas de mosteiros Dominicanos e Franciscanos. A primeira universidade europeia apareceu no século IX em Palermo, na Itália. No final da Idade Média, no século XIII, aparecem novas universidades, como a de Bolonha e Pádua, na Itália, a de Oxford e Cambridge, em Inglaterra.

No século X, houve um renascimento pelo interesse pela matemática com o trabalho de Gerbert d'Aurillac (945-1003) que se tornou papa Silvestre II. Gerbert estudou em Espanha, então ocupada pelos muçulmanos, tendo provavelmente aí aprendido a sua matemática. Mais tarde este reorganizou a escola de Reims e reintroduziu o estudo da Matemática.
A matemática grega que era desconhecida em, praticamente, toda a Europa até cerca do início do século XII; começou a ser traduzida, nessa época, para latim, essencialmente a partir de fontes árabes. Maior parte deste trabalho de tradução foi realizado em Toledo, na Espanha.
Nessa altura Toledo tinha sido reconquistada pelos cristãos aos muçulmanos e nela florescia uma comunidade judaica, cujos membros conheciam bem o latim e o árabe.
No século XII, vários judeus escreveram textos originais, embora muitos deles de inspiração árabe; como foi o caso de Abraham bar Hiyya e Abraham ben Erza.
No final do século XII, maior parte dos trabalhos gregos e alguns árabes tinham já sido traduzidos para latim. Estes trabalhos foram assimilados por toda a Europa e uma nova matemática começou a ser criada pelos matemáticos cristãos e judeus europeus, como refere Vitor Katz.
O matemático mais produtivo do século XIII foi, provavelmente, Leonardo de Pisa, que muitos consideram como tendo sido quem introduziu os numerais indo-árabes na Europa.

No entanto, o primeiro manuscrito, que se conhece onde aparecem os numerais indo-árabes é o Códice Vigilanus, escrito, provavelmente, por um monge do convento de Albelda, em Espanha, em 976. O códice encontra-se actualmente na biblioteca de San Lorenzo no Escorial.

O crescimento económico das cidades de Itália, como Florença, Veneza e Pisa levou à necessidade de haver pessoas capazes de fazerem cálculos relacionados com empréstimos e juros, preços de revenda, custos dos seguros das viagens (por terra e por mar), etc. As necessidades económicas levaram à criação e desenvolvimento de um novo conhecimento comercial que resultou na criação de uma nova instituição educativa: a Botteghe ou Scuole d'abaco (Escola de Ábaco). Estas escolas eram frequentadas pelos filhos dos mercadores, mas também por pessoas que pretendiam trabalhar em bancos, em serviços públicos ou em escritórios comerciais (por exemplo, de manufactura de roupa ou de construções); estas escolas eram também frequentadas pelas pessoas que queriam seguir a profissão de pintor (por exemplo, Piero della Francesca frequentou uma escola de Ábaco), escultor ou arquitecto. Os professores, os Maestri d'abaco (mestre de ábaco, ou cálculo) ensinavam, essencialmente a matemática aplicada ao comércio, utilizando o sistema de numeração indo-árabe. De acordo com Elisabetta Ulivi, o primeiro mestre de ábaco foi, provavelmente, Leonardo de Pisa, ao qual o foi atribuído um salário anual de 20 libras, como consultor de ábaco para a Comuna de Pisa.

Muitas destes mestres de ábaco passaram a escrito os cursos que ministravam nas suas escolas, na sua língua materna, o italiano vernáculo, de forma a que estes fossem compreendidos por maior parte dos comerciantes, e não apenas pelos letrados que sabiam latim.

De acordo com Horup, o primeiro tratado, conhecido, escrito em italiano foi o Tractatus algorismi, de 1307, de Jacopo da Firenze.
Um dos primeiros mestres de ábaco a escrever na sua língua materna foi o italiano Paolo Dagomari. Muitas vezes as aritméticas escritas pelos Mestres de ábaco passavam para os seus discípulos, que as ampliavam ou simplesmente copiavam. Um dos discípulos de Paolo Dagomari, foi o mestre de ábaco Antonio di Mazzinghi. Também os irmãos, mestre de ábaco, Calandri escreveram várias aritméticas, uma das quais foi a primeira aritmética impressa contendo ilustrações. A primeira aritmética a ser impressa, em Treviso, no ano de 1478, embora sendo de um autor desconhecido, pensa-se que o seu autor era, igualmente, um mestre de ábaco.

A tradição italiana acabou por se espalhar por praticamente toda a Europa.

O primeiro manuscrito de aritmética comercial redigido no sul de França, na vila de Pamiers, entre 1420 e 1430, de autor desconhecido, mas provavelmente um homem da igreja, é denominado Compendi di algorismi, também conhecido pelo manuscrito de Pamiers. Este compêndio escrito em linguagem vernacular, o occitan, foi profundamente marcado pelos pelos tratados de ábaco italianos.
Em Reins encontram-se várias escolas frequentadas pelos mercadores e homens de negócio. O Compendy de la pratique des nombres é uma das muitas aritméticas escritas durante o período medieval no sul da França. Esta aritmética foi escrita pelo frade dominicano, Barthélémy de Romans, em cerca de 1467, que se pensa que foi, durante algum tempo, mestre de ábaco em Carcassonne. O livro de Barthélémy influenciou, provavelmente, o de outro francês, Nicolas Chuquet. No seu manuscrito de Chuquet também utilizou os numerais indo-árabes.

Em Barcelona, na actual Espanha, segundo Xabier Docampo, foi impressa, em 1482, a segunda aritmética comercial, escrita em catalão, a Summa de l’Art d’Arismètica, de Francesc Santcliment. Sabe-se que Santcliment ensinou aritmética em Barcelona e Saragoça entre 1482 e1487.

Na Alemanha, a primeira aritmética comercial impressa, Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft, foi publicada em1489 e foi escrita em alemão por um professor da Universidade de Liepzig, Joahnnes Widman (1462-1500, natural de Eger, actualmente na República Checa).